Variables aléatoires discrètes

II Loi d'une variable aléatoire discrète

Ce document rappelle quelques définitions sur les variables aléatoires discrètes et décrit les lois classiques. Il est en cours d'écriture.

I Généralités

II Loi d'une variable aléatoire discrète

III Lois classiques

I Généralités

Variables aléatoires discrètes

I Généralités

II Loi d'une variable aléatoire discrète

III Lois classiques

Certaines expériences effectuées dans des conditions déterminées ont un résultat qui comporte un élément d'incertitude ou de hasard, dépendant de facteurs non contrôlés. On les appelle des expériences aléatoires : le lancer d'un dé, le rendement d'un champ de blé, le résultat d'une autofécondation d'un plante hétérozygote... sont des expériences aléatoires.

Mathématiquement, une telle expérience est représentée par le tirage d'un élément omega dans un ensemble Omega représentant toutes les issues possibles.

Certains faits associés à cette expérience aléatoire peuvent se produire ou non, on les appelle des événements. Mathématiquement, un événement sera représenté par une partie de Omega .

Dans une expérience aléatoire, une variable aléatoire (en abrégé v.a.) $X$ est une quantité dont la valeur, a priori incertaine, est déterminée à l'issue de l'expérience. Elle est donc représentée comme une application $X$ définie sur l'ensemble Omega des résultats possibles de l'expérience. La valeur prise par l'application $X$ à la suite d'une expérience aléatoire, est appelée une réalisation de la v.a. $X$ .

Par exemple, lors du tirage d'un individu dans une population, la taille, le poids ou le revenu annuel de l'individu tiré sont des réalisations de variables aléatoires.

Exemple : lancer de deux dés

Le lancer de deux dés est une expérience aléatoire. Si on désigne par

A

B

les deux dés, le résultat d'un tel lancer peut être décrit par un couple d'entiers

(k, l)

le premier désignant le chiffre obtenu avec le dé A et le deuxième désignant le chiffre obtenu avec le dé B. L'ensemble des issues possibles est alors donné par l'ensemble

Ω = {1, \dots, 6}^{2}

La somme obtenue en lançant ces deux dés est une réalisation d'une v.a. $X$ à valeurs dans ${2, \dots, 12}$ . La v.a. $X$ est définie comme l'application :

X : \begin{matrix} Ω & \to & {1, \dots, 6}^{2} \\ (k, l) & \mapsto & k + l \end{matrix}

L'événement obtenir 7 en sommant les deux numéros obtenus s'écrit à l'aide de la v.a. $X$ : "X = 7 " et est défini par l'ensemble ${ω \in Ω, X (ω) = 7}$ c'est-à-dire l'ensemble ${(k, l) \in {1, \dots, 6}^{2}, k + l = 7}$ ou encore ${(k, 7 - k), k \in {1, . . ., 6}}$ .

L'événement "X 7 " est l'événement obtenir une somme au moins égale à 7 .

Exemple : dépouillement d'un vote

Dépouiller 4 bulletins de vote après un référendum est une expérience aléatoire. Le résultat d'un tel dépouillement peut-être décrit par un 4-uplet

(x_{1}, . . ., x_{4})

où

x_{k}

décrit le

k

-ième bulletin dépouillé : si on suppose qu'il n'y a pas de vote nul, on pourra poser

x_{k} = 1

si le

k

-ième bulletin est pour le "oui" au référendum et

x_{k} = 0

si le

k

-ième bulletin est pour le "non" au référendum. L'ensemble des résultats possibles pour ce dépouillement est

Ω = {0, 1}^{4}

. Le nombre de bulletins "oui" parmi les 4 bulletins est la réalisation d'une variable aléatoire

Y

définie par

Y : \begin{matrix} Ω & \to & {0, 1}^{4} \\ (x_{1}, . . ., x_{4}) & \mapsto & \sum_{k = 1}^{4} x_{i} \end{matrix}

Par exemple, si le résultat du dépouillement est décrit par $ω = (1, 1, 0, 1)$ alors $Y (ω) = 3$ .

L'événement il n'y a aucun bulletin pour le "non" parmi les 4 bulletins dépouillés s'écrit aussi "Y = 4 " et est décrit par le sous-ensemble ${(1, 1, 1, 1)}$ de Omega .

II Loi d'une variable aléatoire discrète

Variables aléatoires discrètes

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I Généralités

II Loi d'une variable aléatoire discrète

III Lois classiques

II-1 Définition de la loi et exemples

II-2 Fonction de répartition

II-3 Quantiles

II-4 Espérance

II-1 Définition de la loi et exemples

Variables aléatoires discrètes

II Loi d'une variable aléatoire discrète

II-1 Définition de la loi et exemples

I Généralités

II Loi d'une variable aléatoire discrète

III Lois classiques

Lorsqu'une v.a. $X$ ne peut prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs $x_{1}, \dots, x_{n}$ (avec $n$ fini ou $n = + ∞$ ), on dit que la variable est discrète. On peut affecter à chaque valeur $x_{i}$ une probabilité, celle de l'événement `` $X$ prend la valeur $x_{i}$ ''. Cet événement se note en abrégé `` $X = x_{i}$ '', il est défini par l'ensemble ${ω \in Ω, X (ω) = x_{i}}$ . Les nombres $P (X = x_{i})$ pour $i \in {1, \dots, n}$ sont positifs ou nuls et leur somme est égale à $1$ . Ils définissent donc une probabilité sur l'ensemble $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ que l'on appelle la loi de $X$ .

Définition

Soit

X

une v.a. à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable

𝒳 = {x_{i}, i \in I}

. La loi de

X

est la probabilité

sur

𝒳

définie par

μ ({x_{i}}) = P (X = x_{i})

pour tout

i \in I

Exemple d'une loi sur un ensemble fini

Tableau décrivant la loi d'une variable aléatoire $X$ :

$k$
$P (X = k)$

On peut représenter la loi de $X$ par le diagramme en bâtons suivant :

La hauteur du bâton d'abscisse $k$ représente la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne la valeur $k$ (pour plus de clarté, la hauteur de chaque bâton est précisée au-dessus de celui-ci).

La loi d'une v.a. permet de calculer la probabilité de n'importe quel événement dépendant uniquement de cette v.a. :

Proposition

Soit

X

une variable aléatoire discrète à valeurs dans

𝒳 = {x_{i}, i \in I}

et de loi

. Pour tout

A \subset 𝒳

Le lancer d'un dé

Si X désigne le nombre obtenu en lançant un dé, la probabilité d'obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 est :

II-2 Fonction de répartition

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II Loi d'une variable aléatoire discrète

II-2 Fonction de répartition

I Généralités

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III Lois classiques

Définition

La fonction de répartition d'une v.a. X à valeurs réelles est la fonction F définie sur par

pour tout

Exemple

Tableau décrivant la loi d'une variable aléatoire X :

k
P(X = k)

Représentation de la loi de X	Graphe de la fonction de répartition de X

II-3 Quantiles

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II-3 Quantiles

I Généralités

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III Lois classiques

Définition

Soit . Un nombre t est un quantile d'ordre p pour la loi de X si

En particulier, un quantile d'ordre 0.5 est appelé une médiane .

Définition

La fonction quantile est la fonction qui à tout nombre associe le plus petit quantile d'ordre t.

Exemple

Tableau décrivant la loi d'une variable aléatoire X :

k
P(X = k)

On voit sur le graphe de la fonction de répartition de X que Tous les nombres compris entre et sont des médianes pour la loi de X. La fonction quantile au point 0.5 vaut donc .


Fonction de répartition de X		Fonction quantile de X

II-4 Espérance

Variables aléatoires discrètes

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II-4 Espérance

I Généralités

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III Lois classiques

Il y a deux situations où on peut toujours définir l'espérance d'une variable aléatoire, lorsque celle-ci ne prend qu'un nombre fini de valeurs ou lorsque celle-ci prend un nombre dénombrable de valeurs toutes de même signe. C'est le cas par exemple de toutes les variables aléatoires à valeurs dans .

II-4-1 Cas d'une v.a. prenant un nombre fini de valeurs

II-4-2 Cas d'une v.a. positive

II-4-3 Cas d'une v.a. prenant un nombre dénombrable de valeurs positives et négatives

II-4-1 Cas d'une v.a. prenant un nombre fini de valeurs

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II-4 Espérance

II-4-1 Cas d'une v.a. prenant un nombre fini de valeurs

I Généralités

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III Lois classiques

Définition

Soit X une variable aléatoire dont les valeurs possibles en nombre fini et notées e₁,...,e_n. On définit l'espérance de X par

Exemple

Soit X un variable aléatoire dont la loi est décrite par le tableau suivant

k
P(X = k)

L'espérance de X est E(X)= -P( X = -1) +0P( X = 0)=

La flèche rouge indique la position de l'espérance de X par rapport aux valeurs possibles pour X.

Si on imagine que les barres verticales sont des barres de métal posées sur un plateau, la flèche rouge indique où il faut tenir le plateau pour qu'il reste horizontal.

II-4-2 Cas d'une v.a. positive

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II-4 Espérance

II-4-2 Cas d'une v.a. positive

I Généralités

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III Lois classiques

Définition

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble dénombrable de . On définit l'espérance de X par

Remarques.

Cette définition a bien un sens car tous les termes de la somme étant positifs, le résultat de la sommation ne dépend pas de l'ordre choisi pour énumérer les éléments de : pour calculer E(X), on choisit donc une façon de numéroter les valeurs possibles pour X par exemple, et on a alors .
L'espérance peut valoir .

Exemple

Si X est une v.a. à valeurs dans telle que pour tout alors .

II-4-3 Cas d'une v.a. prenant un nombre dénombrable de valeurs positives et négatives

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II-4 Espérance

II-4-3 Cas d'une v.a. prenant un nombre dénombrable de valeurs positives et négatives

I Généralités

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III Lois classiques

Définition

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble dénombrable de et qui peut prendre à la fois des valeurs positives et négatives. On dit que X admet une espérance si est fini. Dans ce cas, on définit l'espérance de X par

Remarque. La condition assure que quel que soit l'ordre dans lequel on choisit de sommer les termes de la famille , la valeur de la somme obtenue sera toujours la même.

III Lois classiques

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III Lois classiques

I Généralités

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III Lois classiques

Description de quelques lois classiques sur .

III-1 Loi uniforme

III-2 Loi de Bernoulli

III-3 Loi binomiale

III-4 Loi hypergéométrique

III-5 Loi de Poisson

III-6 Loi géométrique

III-7 Loi binomiale négative

III-1 Loi uniforme

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III Lois classiques

III-1 Loi uniforme

I Généralités
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III Lois classiques

Définition

La loi uniforme sur un ensemble fini est la probabilité

sur définie par

Exemple

Le nombre obtenu en lançant un dé bien équilibré est une réalisation d'une variable aléatoire de loi uniforme sur .

Fonction de répartition de la loi uniforme sur V_n= lorsque n = 10

Vous pouvez augmenter la valeur de n ( )

Proposition

Lorsque n tend vers l'infini, la fonction de répartition de la loi uniforme sur V_n converge en tout point vers une fonction continue F sur définie par

Démonstration

Notons F_n la fonction de répartition de la loi uniforme sur V_n : si , F_n(t)=0, si F_n(t)=1 et si , où [a] désigne le plus grand entier inférieur ou égal à a. On conclut en utilisant que pour tout réel a, .

III-2 Loi de Bernoulli

Variables aléatoires discrètes

III Lois classiques

III-2 Loi de Bernoulli

I Généralités
II Loi d'une variable aléatoire discrète

III Lois classiques

Définition

Soit . La loi de Bernoulli de paramètre p est la probabilité

sur définie par

Elle est notée .

Exemple

L'indicatrice d'un événement A est une variable aléatoire qui peut prendre deux valeurs 0 ou 1 : pour tout ,

Sa loi est la loi de Bernoulli .

III-3 Loi binomiale

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III Lois classiques

III-3 Loi binomiale

I Généralités

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III Lois classiques

Définition

La loi binomiale de paramètres n et p notée est la loi de probabilité

sur définie par pour tout .

Proposition

Si on répète une expérience n fois dans les mêmes conditions et si à chaque fois la probabilité que le résultat de l'expérience soit A est p, alors le nombre de fois où on observe le résultat A sur les n expériences est une variable aléatoire de loi binomiale .

Démonstration

Comme seul le fait que A est ou n'est pas réalisé au cours de chaque expérience nous intéresse, on note le résultat d'une expérience par un 1 si l'événement A a été réalisé et par un 0 pour signifier que l'événement A n'a pas été réalisé. Le résultat des n expériences est alors décrit par un n-uplet avec désignant le résultat de la i-ième expérience. Le nombre de fois où l'événement A est réalisé au cours des n expériences est une réalisation de la variable X définie par l'application

L'ensemble des résultats possibles pour ces n expériences est alors décrit par l'ensemble . La probabilité que le résultat des n expériences soit décrit par est avec p(1)=p=1-p(0). Donc, pour tout .

Déterminons la loi de X : soit . Comme pour tout , , on en déduit que . On conclut utilisant que a éléments.

Représentation de la loi Binomiale B(n,p)

Tableau décrivant la loi d'une variable aléatoire X de loi binomiale B(14,0.56) (les coefficients sont donnés à 0.001 près) :

k
P(X = k)	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN

Diagramme en bâtons de la loi binomiale B(14,0.56) :

Vous pouvez changer les valeurs de n et p aléatoirement ou les choisir vous-même en haut (n leq

20).

III-4 Loi hypergéométrique

Variables aléatoires discrètes

III Lois classiques

III-4 Loi hypergéométrique

I Généralités

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III Lois classiques

Définition

La loi hypergéométrique est une loi de probabilité

sur et définie par

Proposition

Si on choisit au hasard n individus différents dans une population de taille N constituée de N₁ individus de type 1 et N₂=N-N₁ de type 2, alors le nombre de personnes sélectionnées qui sont de type 1 est une réalisation d'une variable aléatoire de loi hypergéométrique H( N, N₁, n).

Démonstration

On numérote de 1 à N les individus de la population, en attribuant des numéros entre 1 et N₁ aux individus de type 1 et entre N₁+1 et N₂ aux individus de type 2. On peut coder le résultat du choix de n individus dans cette population par un N-uplet en posant x_i=1 si si la personne numéro i est choisie et en posant x_i=0 si cette personne n'a pas été choisi. L'ensemble des résultats possibles pour un tel tirage est donc :

Le choix des n individus se faisant au hasard, on munit Omega

de l'équiprobabilité P : pour tout . La variable aléatoire X donnant le nombre de personnes de type 1 sélectionnées est décrite par l'application :

Pour , l''événement X=k s'écrit :

C'est ensemble est non vide seulement lorsque et et sous ces conditions, .

Attention. La façon de noter les paramètres de la loi hypergéométrique n'est pas la même partout : dans certains livres, les paramètres qui sont retenus pour décrire la loi sont dans l'ordre K, N-K et n.

Représentation d'une loi hypergéométrique

Tableau décrivant la loi d'un variable aléatoire X de loi Hypergéométrique H(1,6,3) (les coefficients sont donnés à 0.001 près) :

k
P(X = k)	NaN	NaN	NaN	NaN

Diagramme en bâtons de la loi hypergéométrique H(7,1,3) :

Vous pouvez changer les valeurs de N₁, N₂ et n aléatoirement ou les choisir vous-même en haut (2 leq

10, 1

10, 1

n ).

III-4-1 Approximation de la loi hypergéométrique

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III Lois classiques

III-4 Loi hypergéométrique

III-4-1 Approximation de la loi hypergéométrique

I Généralités

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Proposition

Lorsqu'on fait tendre N et K vers de sorte que tende vers une limite alors la loi hypergéométrique tend vers la loi binomiale .

Démonstration

Il suffit de remarquer que pour tout ,

Comparaison entre la loi hypergéométrique H(N,K,n) et la loi binomiale B(n,K/N) :

( , et

En bleu, le diagramme en bâtons de la loi hypergéométrique H(40,15,2).
En rouge, le diagramme en bâtons de la loi binomiale B(2,)

Vous pouvez changer les valeurs de N₁, N₂ et n aléatoirement ou les choisir vous-même en haut ( , et ).

III-5 Loi de Poisson

Variables aléatoires discrètes

III Lois classiques

III-5 Loi de Poisson

I Généralités

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III Lois classiques

Définition

La loi de Poisson de paramètre a notée est la loi de probabilité

sur définie par pour tout .

La loi de Poisson apparaît comme une approximation d'une loi binomiale lorsque n est grand et p est très petit :

Théorème

Soit (p_n)_n une suite de probabilités. Supposons que la suite (np_n) tende vers un réel strictement positif a, alors les coefficients de la loi de tendent vers les coefficients correspondant de la loi de Poisson : pour tout ,

On peut donner une majoration de l'erreur commise en approchant la loi par la loi de Poisson :

Théorème

Si X est une variable aléatoire de loi et si Y est une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre np, alors pour tout , .

Comparaison de la loi B(n,4/n) avec la loi Poisson lorsque n=5

En bleu, le diagramme en bâtons de la loi binomiale B(n,a/n) avec n=5.
En rouge, le diagramme en bâtons de la loi de Poisson

Augmenter n (au maximum n=20)

III-6 Loi géométrique

Variables aléatoires discrètes

III Lois classiques

III-6 Loi géométrique

I Généralités

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III Lois classiques

Définition

La loi géométrique sur de paramètre notée est la loi de probabilité

sur définie par pour tout .

La loi géométrique sur de paramètre notée est la loi de probabilité sur définie par pour tout .

Proposition

Supposons que l'on répète une expérience aléatoire n fois dans les mêmes conditions. On s'intéresse à un événement A qui arrive avec probabilité à chaque expérience.

On considère la variable aléatoire X_n donnant le nombre d'expériences effectuées au moment où l'on observe pour la première fois l'événement A avec la convention X_n=n+1 si l'événement A n'est pas paru au cours de ces n expériences. Alors

pour tout
P(X_n = n+1)=(1-p)ⁿ.

En particulier, la loi de X_n converge vers la loi géométrique lorsque n tend vers .

Démonstration

Notons G_i l'événement ``A est réalisée à la i-ième expérience'' . Si , et . Comme les expériences sont effectuées dans les mêmes conditions, l'ensemble des événements sont indépendants et de même probabilité p ce qui permet de déterminer la loi de X_n. Enfin, comme , (1-p)ⁿ tend vers 0 lorsque n tend vers . Donc, pour tout , P(X_n=k) tend vers lorsque n tend vers , ce qui montre que la loi de X_n converge vers la loi géométrique lorsque n tend vers .

Exemple

Tableau décrivant la loi de X_n lorsque n=7 et p=0.71 (les coefficients sont donnés à 0.001 près) :

k		8
P(X = k)	NaN	0	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN	NaN

Diagramme en bâtons de la loi de X avec n=7 et p=0.71 :

Vous pouvez changer les valeurs de n et p aléatoirement ou les choisir vous-même en haut (n leq

20).

N. B. La loi géométrique est donc la loi du nombre de réalisations de l'expérience aléatoire à effectuer pour observer pour la première fois un événement A de probabilité p.

Proposition

Si X est une variable aléatoire de loi géométrique alors X-1 suit la loi géométrique .

Démonstration

X-1 est une variable aléatoire à valeurs dans et pour tout , P(X-1=k)=P(X=k+1)=p(1-p)^k.

III-7 Loi binomiale négative

Variables aléatoires discrètes

III Lois classiques

III-7 Loi binomiale négative

I Généralités

II Loi d'une variable aléatoire discrète

III Lois classiques

La loi binomiale négative est une généralisation de la loi géométrique :

Définition

La loi binomiale négative de paramètres et est la loi de probabilité

sur les entiers supérieurs ou égaux à r définie par

pour tout .

Proposition

Si un événement A a une probabilité p d'être réalisé à chaque fois que l'on répète une même expérience aléatoire , pour observer l'événement A r fois, il faudra répéter l'expérience une nombre aléatoire X de fois. La v.a. X suit une loi binomiale négative de paramètres r et p.

Démonstration

Soit n un entier supérieur ou égal à r. L'événement est égal à l'événement "parmi les n-1 premières expériences, l'événement A est apparu r-1 fois et A a été réalisée à la n-ième expérience" . Remarquons que l'événement : "parmi les n-1 premières expériences, l'événement A est apparu r-1 fois" s'écrit aussi si est la v.a. qui donne le nombre de fois où A est réalisé au cours des n-1 premières expériences. Comme les expériences se font dans les mêmes conditions, le résultat de chaque expérience est indépendant des résultats des autres expériences. Donc l'événement est indépendant de l'événement G_n : " A a été réalisée à la n-ième expérience" et suit la loi binomiale . On en déduit que

avec

description des lois classiques de v.a. discrètes.
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