La fonction indicatrice d'un ensemble
La fonction indicatrice d'un ensemble
I Définition et exemples
Définition
Soit
un ensemble. La fonction indicatrice d'un sous-ensemble
de l'ensemble
notée
est la fonction définie sur
qui vaut 1 sur
A et 0 à l'extérieur de
A :
un ensemble. La fonction indicatrice d'un sous-ensemble
de l'ensemble
notée
est la fonction définie sur
qui vaut 1 sur
A et 0 à l'extérieur de
A :
N.B.
On utilise souvent la notation
à la place de
Exemple
La fonction de Heaviside (du nom de Oliver Heaviside) est la fonction définie sur
comme l'indicatrice de
:
On utilise souvent la notation à la place .
On rencontre la fonction indicatrice dans la définition de fonctions complexes :
Exemple
La fonction
f définie sur
par
peut s'écrire en une seule ligne : pour tout .
Exemple [ Fonction en escaliers ]
g =
est la fonction en escaliers dont le graphe sur l'intervalle
est représenté sur le dessin :
La fonction indicatrice d'un ensemble
I Définition et exemples
I Définition et exemplesII Propriétés
Soit A et B deux sous-ensembles d'un ensemble.
Proposition
Si
A est un sous-ensemble de
B alors
pour tout
.
On doit vérifier que pour tout
,
.
- Si alors . Comme , et donc ; l'inégalité est bien satisfaite.
- Enfin, si alors et comme , l'inégalité est est encore vraie.
On en déduit que la fonction indicatrice d'un ensemble caractérise cet ensemble au sens où
(c'est pourquoi on appelle aussi la fonction caractéristique de l'ensemble A).
Les opérations sur les ensembles, passage au complémentaire , réunion , intersection , produit cartésien de 2 ensembles se transforment en opérations sur les fonctions indicatrices de la façon suivante :
Proposition
- ,
- ,
- si A et B sont disjoints,
- pour tout .
On peut par exemple vérifier ces égalités en partant du terme de droite de l'égalité ; on écrit sa valeur en un point
5.4 suivant que
5.4 est dans
A ou non, dans
B ou non (pour les trois dernières formules). Et on vérifie que l'on a la même valeur pour le terme qui se trouve à gauche de l'expression.
Par exemple détaillons la preuve pour la troisième formule. Soit
.
- Supposons que . Alors puisque A et B n'ont pas d'éléments en commun. Donc , et . Par conséquent, .
- Le même calcul montre que pour , .
- Il reste à considérer un élement 5.4 qui n'est ni dans A, ni dans B : , et car 5.4 n'est pas dans . Donc .
Exercice
La fonction indicatrice d'un ensemble
II Propriétés
II Propriétés