OEF Vraisemblance d'observations --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 3 exercices sur l'estimation d'un paramètre par la méthode du maximum de vraisemblance.

Recherche d'un maximum

On suppose que les valeurs suivantes sont des réalisations d'un -échantillon de loi .
On note L la log-vraisemblance des observations à une constante additive près.
  1. Donner une expression de .
    Pour , L() =
    2. La log-vraisemblance est une fonction de la forme
    pour tout ,
    où C désigne une constante.
  2. Donner l'expression de la dérivée de .
    Pour , L'() =
    3. Pour , .
    La dérivée de L s'annule en un unique point appelé point critique. Lequel ? .
  3. Donner l'expression de la dérivée seconde de .
    Pour , L''() =
    Pour , .
    La dérivée seconde au point critique est
    4. strictement négative.
  4. Quelle est la valeur du l'estimateur du maximum de vraisemblance ?

Estimation et planche de Galton

Une balle tombe sur une pyramide de clous comme cela est représenté sur le schéma. L'applet ci-dessous simule les trajectoires de balles qui tombent sur une pyramide de clous. A chaque fois qu'une balle arrive sur un clou, elle a une probabilité x de rebondir à droite du clou et une probabilité 1-x de rebondir à gauche du clou.

L'applet ci-dessous simule les trajectoires de balles qui tombent sur une pyramide de clous. Utiliser l'applet pour simuler les trajectoires d'au moins balles, puis cliquez sur le bouton "Envoyer la réponse" pour obtenir les questions.

Vous avez simulé les trajectoires de balles.
Le tableau ci-dessous décrit le nombre de balles qui sont tombées dans chacun des paniers au cours de la simulation.

panier numéro t
nb de balles

  1. Donner l'expression de la probabilité que la balle tombe dans le panier numéro en fonction de x
    2. .
    Bonne réponse, la probabilité que la balle tombe dans le panier numéro est .
  2. Donner l'expression de la vraisemblance des résultats de cette simulation (à une constante multiplicative près) comme une fonction du paramètre inconnu x.

    3. La vraisemblance est l'application x .
  3. Déterminer la valeur de l'estimateur du maximum de vraisemblance de x.

Répartition poissonnienne

On a représenté la position d'abeilles dans un champ de colza en fleur divisé en parcelles de m de côté. Le nombre d'abeilles observées dans chaque parcelle est reporté sur le carré de droite pour plus de clarté.
parallel 0,0,0,,,0,+1,gray parallel 0,0,,0,0,,+1,gray linewidth 2 parallel -0,-0,-0,,,0,+1,gray parallel -0,-0,,0,0,,+1,gray linewidth 2
On modélise le nombre d'abeilles dans chaque parcelle par des variables aléatoires indépendantes et de loi de Poisson de paramètre inconnu.

1- Afin d'obtenir le diagramme en bâtons de la loi empirique de ces observations, compléter le tableau suivant :

Abscisse des bâtons
Hauteurs des bâtons

Bonne réponse! Voici le diagramme de la loi empirique :

2- Donner l'expression de la log-vraisemblance du nombre d'abeilles observées dans chaque parcelle en fonction du paramètre inconnu.

La log-vraisemblance des observations est la fonction définie sur par :

pour tout

3- Quelle est la valeur de l'estimateur de donné par la méthode du maximum de vraisemblance ? Quelle est la valeur de l'estimateur empirique de l'espérance de ? Si on estime par la quelle est la valeur de l'estimateur de pour ces observations ?

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