OEF probabilité
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 32 exercices non publiés en probabilité.
Aires et loi normale 2
La courbe représente la densité de la loi normale
.
xrange , yrange -0.1, hline 0,0,black arrow ,0,-0.1,0,10,black arrow 0,-0.1,0,,10,black text gray, -0.1,0,,0
On note
une variable aléatoire de loi normale
.
L'aire du domaine colorié est la probabilité d'un des événements ci-dessous, lequel ?
NB : essayer de répondre sans réécrire l'événement mais en utilisant les propriétés de la densité gaussienne.
L'aire du domaine colorié est la probabilité de l'évènement . Calculer la probabilité de cet événement.
Calcul avec une loi de Poisson
On note
une variable aléatoire à valeurs entières positives ou nulles dont la loi est décrite par le diagramme en bâtons ci-dessous :
![]()
Le tableau décrit les premiers coefficients de la loi
.
- Quelle est la probabilité que
prenne une valeur strictement supérieure à ?
=
. Bonne réponse.
-
suit une loi de Poisson. Déduire des valeurs du tableau la valeur du paramètre de la loi de Poisson :
suit la loi de Poisson de paramètre
.
Coïncidence
On demande à personnes de choisir un entier au hasard entre 1 et et de l'écrire sur un bout de papier. Quelle est la probabilité pour qu'au moins deux personnes aient choisi le même chiffre ?
Combinaison linéaires de v.a. gaussiennes
Soit
une variable aléatoire de loi normale d'espérance
et d'écart-type
et soit
une variable aléatoire indépendante de
de loi normale d'espérance
et d'écart-type
. On pose
.
- Compléter en écrivant le nom de la loi de
suit la loi
.
.
- L'espérance de
est :
- La variance de
est :
Contrôle de la production
Chaque pièce fabriquée dans une usine a une probabilité d'être défectueuse. Un inspecteur contrôle le fonctionnement de pièces choisies au hasard dans la production de la semaine.
1- Par quelle loi peut-on approcher la loi du nombre de pièces défectueuses observées dans un tel contrôle si on suppose que l'usine produit un très grand nombre de pièces par semaine ?
(entrer le nom de la loi en toutes lettres)
Bonne réponse : la loi du nombre de pièces défectueuses dans un tel tirage est une loi hypergéométrique que l'on peut approcher par une loi binomiale
. 2 - Compléter : ici le paramètre
est
et le paramètre
est
.
Description d'un sous-ensembles du plan
On note
l'ensemble E = - Comme sous-ensemble du plan, les éléments de
constituent tous les points à coordonnées entières inclus dans
.
.
- Une autre façon d'écrire l'ensemble
est :
(x,
)
,
x
- Son cardinal est :
Cardinal d'un sous-ensemble du plan 1
Quel est le cardinal de l'ensemble E suivant ?
E =
Des identités utilisant l'espérance
Soit
une variable aléatoire à valeurs dans
. Compléter l'identité suivante en entrant une fonction de
) =
Description de tirages
.
- Parmi les ensembles suivants, sélectionnez un ensemble qui a les deux propriétés suivantes :
- chaque résultat possible pour ce tirage est décrit par un élément de cet ensemble et deux éléments différents de cet ensemble décrivent deux issues différentes pour ce tirage,
- tous les éléments décrivent des résultats qui ont la même chance d'arriver.
-
Bonne réponse ! On peut décrire l'ensemble des résultats possibles pour ce tirage par .
- Quel est le cardinal de cet ensemble ?
Un exemple de couple de v.a.
On dispose d'un sac contenant boules blanches, boules noires et boules rouges indiscernables au toucher. On note
le nombre de boules blanches et
le nombre de boules noires que l'on obtient en tirant au hasard deux boules différentes.
Compléter le tableau ci-dessous afin qu'il décrive la loi du couple
) : la case de la
-ième ligne et de la
-ième colonne doit contenir la valeur de
(
et
) ( écrire vos réponses sous forme de fractions ).
Fréquentation d'un magasin
On modélise le nombre de personnes entrant dans de la rue ***, le matin, par une variable aléatoire
de loi de Poisson de paramètre
et le après-midi par une variable aléatoire
de loi de Poisson de paramètre
. On suppose que les deux variables aléatoires sont indépendantes.
- Complétez la phrase : la probabilité pour que le nombre de personnes entrant dans , le matin, soit vaut :
. Bonne réponse.
- Complétez la phrase : la probabilité pour que le nombre total de personnes entrant dans un soit vaut :
.
Mauvaise réponse : le nombre total de personnes entrant dans un est modélisée par la variable aléatoire
. Il faut connaitre sa loi pour compléter la seconde phrase. -
Complétez : la loi de
est la loi
de paramètre
.
Complétez : la loi de
est la loi de Poisson de paramètre
.
- Pour compléter la phrase 2, il suffit de calculer la probabilité pour que l'événement
se réalise.
Entrez votre réponse :
=
.
Fréquentation d'un magasin 2
On modélise le nombre de personnes entrant dans de la rue ***, le matin, par une variable aléatoire
de loi de Poisson de paramètre
et le après-midi par une variable aléatoire
de loi de Poisson de paramètre
. On suppose que les deux variables aléatoires sont indépendantes.
Complétez la phrase suivante : La probabilité pour que le nombre total de personnes entrant dans un soit vaut :
.Mauvaise réponse : le nombre total de personnes entrant dans un est modélisée par la variable aléatoire
. Il faut connaitre sa loi pour compléter la phrase. -
Complétez : la loi de
est la loi
de paramètre
.
Complétez : la loi de
est la loi de Poisson de paramètre
.
- Pour compléter la phrase, il suffit de calculer la probabilité pour que l'événement
se réalise.
Entrez votre réponse :
=
.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit
,... ,
variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi, d'espérance et de variance . On pose de ces variables aléatoires.
Compléter l'assertion suivante : d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,
Lancers d'une pièce
Quelle est la probabilité qu'une pièce bien équilibrée tombe exactement fois sur "" si on la lance fois ?
liminf / limsup d'événements
Soit
et
des variables aléatoires réelles définies sur un même espace de probabilité. Donner les relations entre les deux événements :
{}
{
}
{
}
{ }
Calcul de la loi d'un couple de v.a.
Soit
un couple de variables aléatoires réelles admettant une densité
par rapport à la mesure de Lebesgue sur
. On cherche à déterminer la loi de
. Pour cela on va calculer
avec
une fonction mesurable positive. 1 - Compléter l'expression suivante :
E(
( Z ))=
Bonne réponse !
2 - On note
l'application définie sur
par :
pour tout
.
Quel est le jacobien de l'application
?
Pour tout
,
|
| ![]() | | | ![]() | =
|
|
| | |
|
|
| |
Bonne réponse ! 3- Compléter l'expression suivante :
=
(
,
)
=
( , )/
Bonne réponse ! 4 - En conclusion, la loi de
admet pour densité l'application
Loi à densité et événement 3
On considère un couple
de variables aléatoires positives. On suppose que la loi jointe de
admet une densité
par rapport à la mesure de Lebesgue sur
.
Compléter la formule ci-dessous afin d'exprimer la probabilité de l'événement {
}
uniquement à l'aide des valeurs de
sur
. NB : écrire uniquement des intégrales de la forme
avec
et utiliser
- inf pour désigner
,
- max(a,b) pour désigner la maximum entre les réels a et b,
- min(a,b) pour désigner le minimum entre les réels a et b.
Loi d'un point aléatoire
On choisit un point au hasard dans la région coloriée délimitée par les segments de droites d'équation
,
,
et
.
On note
l'abscisse du point choisi et
son ordonnée.
Matrice de covariance
Soit
un vecteur aléatoire de matrice de covariance
. On considère .
Déterminer : =
.
.
.
Réponse incorrecte.
Revenons sur les propriétés de :
Bonne réponse.
En utilisant les propriétés vues précédemment, calculer : =
.
Négation d'événements
?
Négation d'une propriété en mathématique
?
Répartition de semences 1
numérotées de 1 à . Il choisit de cultiver une variété différente par parcelle et de laisser parcelles en jachère. - De combien de façons différentes a-t-il de choisir les parcelles qu'il va cultiver ?
Il a
=
façons de les choisir.
- Supposons qu'il choisisse de cultiver les parcelles numérotées de 1 à . De combien de façons différentes a-t-il de cultiver les variétés de céréales sur les parcelles choisies ?
Il a
façons de répartir les variétés de céréales sur les parcelles cultivées.
- En tout, combien a-t-il de façons de répartir ses variétés de céréales en semant une variété différente par parcelle et en laissant parcelles en jachère ?
Il a en tout
façons différentes d'utiliser ses parcelles.
Répartition de semences 2
. Combien de façons différentes a-t-il de semer chaque variété sur parcelles ?
Planche de Galton-Watson
Une balle tombe sur une pyramide de clous comme cela est représenté sur le schéma. A chaque fois qu'elle arrive sur un clou, elle a une probabilité de rebondir à droite du clou et une probabilité de rebondir à gauche du clou.
Vous pouvez lancer l'applet ci-dessous créée par D.P. Little pour voir une simulation des trajectoires de plusieurs balles.
La probabilité pour que la balle tombe dans le panier numéro est :
Planche de Galton 2
Une balle tombe sur une pyramide de clous comme cela est représenté sur le schéma. A chaque fois qu'elle arrive sur un clou, elle a une probabilité de rebondir à droite du clou et une probabilité de rebondir à gauche du clou.
Vous pouvez lancer l'applet ci-dessous créée par D.P. Little pour voir une simulation des trajectoires de plusieurs balles.
On note
la variable aléatoire décrivant le numéro du panier dans lequel la balle tombe.
Compléter les phrases suivantes - Si la balle suit le chemin indiqué en gris alors l'événement
{
=
} est réalisé.
{
} est réalisé.
- La probabilité pour que la balle suive le chemin indiqué en gris est :
- On a
=
- On a
=
- On a
=
Recherche booléenne et ensemble 1
et
Recherche booléenne et ensemble 2
,
et
.
Requêtes booléennes identiques
et
Sélectionnez les 2 requêtes qui donneront la même liste de liens parmi les requêtes suivantes :
Sommation et probabilité 1
On effectue une expérience aléatoire dont l'ensemble des résultats possibles est
= {1,..., } x {1,...,}.
Pour chaque
, on note
la probabilité que
soit le résultat de l'expérience et pour tout événement
, on note
la probabilité que l'événement
se réalise. Compléter la formule ci-dessous afin d'exprimer la probabilité de l'événement
E={(
,
) 
,
}, en fonction uniquement des valeurs de
| | |
(E) = |
|
|
|
| |
|
| |
NB : on écrira min(a,b) pour désigner le plus petit des deux nombres a et b et max(a,b) pour désigner le plus grand. On n'utilisera pas de sommes de la forme
avec
.
Tirages de chiffres
On demande à personnes de choisir au hasard un entier entre 1 et et de l'écrire sur un bout de papier. Quelle est la probabilité pour que chacun des entiers soit choisi par au moins une personne ?
Tirage de jetons
Il y a jetons noirs et jetons blancs dans un sac. Si on choisit au hasard jetons dans le sac, quelle est la probabilité d'obtenir et ?
Tirages de représentants
écoles ont constitué chacune un groupe formé de filles et garçons. Dans chaque groupe, on tire au hasard un élève qui représentera le groupe. - Quelle est la probabilité que le représentant du groupe soit ?
= .
- Quelle est la probabilité que le représentant du groupe soit et que le représentant du groupe soit ?
= .
- Quelle est la probabilité que, parmi les représentants des 2 premiers groupes, il y ait une fille et un garçon ?
= .
- Quelle est la probabilité que parmi les représentants des groupes:
- il n'y ait ?
=.
- il y ait et s ?
=.
- il y ait s et
s
?
=.
- On note
la variable aléatoire donnant le nombre de s parmi les représentants des groupes. Compléter le tableau qui décrit la loi de
| |
|
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