Les fonctions génératrices en probabilité
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 6 exercices sur
les propriétés des fonctions génératrices
et leurs utilisations en probabilité.
Utiliser la fonction génératrice d'un couple de v.a.
Soit
et
deux variables aléatoires à valeurs dans
. On suppose que
=
pour tout
.
Compléter les phrases suivantes :
La probabilité que
prenne la valeur
est :
La probabilité que
prenne la valeur
est :
L'espérance de
est :
L'espérance de
est :
La covariance entre
et
est égale à :
Utiliser la fonction génératrice d'une v.a. 2
On considère une v.a.
à valeurs dans
dont la fonction génératrice est définie par la fonction
suivante :
=
pour tout
.
Compléter les phrases suivantes :
.
Utiliser la fonction génératrice d'une v.a. 1
On considère une v.a.
à valeurs dans
dont la fonction génératrice est définie par la fonction
suivante :
=
pour tout
.
Compléter les phrases suivantes :
.
Propriétés de la fonction génératrice d'une v.a.
Soit
une variable aléatoire à valeurs dans
. On note
sa fonction génératrice. Compléter le texte en sélectionnant les bons choix dans les menus proposés et en insérant les bons nombres dans les champs de réponses.
En tant que série entière,
a un rayon de convergence
à
.
P(
=
) est le coefficient du monôme de degré
de la série entière
. On peut obtenir la valeur de P(
=
) en
la fonction
fois au point
et en
l'entier
.
En dérivant
fois
et en prenant la limite de la fonction obtenue au point
, on trouve la valeur de
Fonction génératrice d'un couple de v.a.
Soit
et
deux variables aléatoires à valeurs dans
On note
la fonction génératrice du couple (
,
) :
=
pour tout
.
Compléter :
La fonction génératrice de est : s
G(
,
)
G(
,
)
La fonction génératrice de est : s
G(
,
)
G(
,
)
On suppose que
admet des dérivées partielles de tous les ordres au point (1, 1).
=
=
Fonction génératrice et transformations
Soit
une variable aléatoire à valeurs dans
On note
sa fonction génératrice et
un réel compris entre -1 et 1.
Compléter :
La fonction génératrice de
au point
s'écrit :
.
Soit
et
des variables aléatoires indépendantes de même loi que
. La fonction génératrice de
au point
s'écrit :
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