Proportionnalité

Sommaire

La notion de proportionnalité pour deux grandeurs intervient souvent dans la vie courante et en sciences. Après des rappels mathématiques, nous traitons des exemples de calculs en chimie.

• Proportionnalité de deux grandeurs : Définition
• La règle de trois
• La constante de proportionnalité
• Exercices résolus
  • Relation de proportionnalité entre le volume et le nombre de moles : le volume molaire
  • Relation de proportionnalité entre la masse et le nombre de moles : la masse molaire

  Proportionnalité de deux grandeurs

  Définition. Deux grandeurs sont dites proportionnelles lorsque le rapport entre ces deux grandeurs est constant.
  
  
  Exercices

  1. Grandeurs proportionnelles ou non
  2. Grandeurs proportionnelles ou non

  Utiliser la règle de trois ou le produit en croix

  En pratique, le fait que deux variables soient proportionnelles permet, connaissant 3 données d'en déduire la quatrième. Cette méthode est souvent appelée Le produit en croix ou la règle de 3. Il s'agit de trouver le rapport constant puis d'écrire la relation entre les variables et ce rapport.

  Méthode

  Soient deux variables $a$ et $b$ proportionnelles.
  Pour $a=a_1$, on a $b=b_1$.
  Pour $a=a_2$, on a $b=b_2$.
  On cherche $b_2$. Puisque les variables $a$ et $b$ sont proportionnelles alors le rapport ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ est constant, c'est à dire : ${\displaystyle \frac{a_1}{b_1}}={\displaystyle \frac{a_2}{b_2}}$. On connaît $a_1,a_2,b_1$ donc on en déduit $b_2$ par la formule $b_2={\displaystyle \frac{a_2.b_1}{a_1}}$.

  Exemples

  Le prix des pommes
  Le prix d'un kilogramme de pommes vaut $4$ €. Combien valent 4 kg de pommes ?
  Solution

  Dire que le prix du kilogramme de pommes est constant signifie que le prix est proportionnel à la masse.

  Le prix de $m=1$ kilogramme de pommes est $p_1=4$ €.
  Le prix de $m=4$ kilogrammes de pommes est $p=p_2$ € que l'on cherche à déterminer. Comme les grandeurs sont proportionnelles, on peut écrire: ${\displaystyle \frac{4}{1}}={\displaystyle \frac{p}{4}}$. D'où on déduit $p=4\times 4=16$ € ; donc, 4 kg de pommes valent 16 €.

  
  Le nombre de moles dans une solution
  Je prélève 1 mℓ d'une solution de sirop de concentration 5 mol/ℓ. Combien de moles de sirop sont présentes dans mon bécher ?
  Solution

  1 ℓ de solution contient 5 mol de sirop.
  Je cherche le nombre n de moles de sirop contenues dans v=1 mℓ soit 0.001 ℓ de solution.

  Puisque la concentration est constante, le rapport ${\displaystyle \frac{n}{v}}$ est constant. Donc, on peut écrire que ${\displaystyle \frac{n}{0.001}}={\displaystyle \frac{5}{1}}$.
  Soit encore $n=5\times 0.001=0.005$ moles.

  Donc, il y a 0.005 moles de sirop dans 1 mℓ de solution.

  
  

  Utiliser la constante de proportionnalité

  Puisque les deux grandeurs $u$ et $v$ sont proportionnelles, il existe une constante $C$ telle que ${\displaystyle \frac{u}{v}}=C$, soit encore l'équation $u=f(v)=C\times v$.

  Méthode

  La constante $C$ et une variable $u$ étant connues, on peut en déduire la seconde variable : $v={\displaystyle \frac{u}{C}}$.
  La constante $C$ et une variable $v$ étant connues, on peut en déduire la seconde variable : $u=C\times v$.
  

  Exemples

  Le prix des pommes
  Le prix d'un kilo de pommes vaut $1$ €. Combien valent 5 kg de pommes ?
  Solution

  Le prix au kilo $p_{\mathrm{kg}}$ est la constante de proportionnalité entre le prix $p_m$ payé et la masse $m$ de pommes : $p_{\mathrm{kg}}={\displaystyle \frac{p_m}{m}}$.
  le prix d'un kilogramme de pommes vaut : $p_1=1$ €. On en déduit $p_{\mathrm{kg}}={\displaystyle \frac{p_1}{1}}=1$ €/kg
  $p_m=p_{\mathrm{kg}}\times m=1\times 5=5$ € ; donc, 5 kg de pommes valent 5 €.

  
  Le nombre de moles dans une solution
  Je prélève 2 mℓ d'une solution de sirop de concentration 5 mol/ℓ. Combien de moles de sirop sont présentes dans mon bécher ?
  Solution

  La concentration $C_0$ de la solution est la constante de proportionnalité entre le nombre de moles $n$ présentes dans la solution et le volume $V$ de cette solution, soit ${\displaystyle \frac{n}{v}}=C_0$ ou encore $n=C_0\times V$.
  
  Je cherche le nombre $n$ de moles de sirop contenues dans v=2 mℓ soit 0.002 ℓ de solution.
  $n=C_0\times V=5\times 0.002=0.01$ moles.

  Donc, il y a 0.01 moles de sirop dans 2 mℓ de solution.

  
  

  Masse molaire

  
  
  

  Voici une solution rédigée de cet exercice . Sur cette page, les données sont aléatoires comme dans l'exercice. Vous pouvez les renouveler :

  Rappel

  La masse molaire $M_{\mathrm{molaire}}$ est le coefficient de proportionnalité entre la masse d'un échantillon d'une espèce chimique donnée et le nombre de moles de cette espèce contenues dans cet échantillon.
  
  soit la relation $M_{\mathrm{molaire}}={\displaystyle \frac{m}{n}}$ g/mol.

  Dans cette page, on notera $M_{\mathrm{molaire}}(X)$ la masse molaire de l'espèce X.
  
  

  La question

  Une expérience de chimie nécessite l'utilisation de 0.86 mol de $\mathrm{Na}\mathrm{Cl}$. Quelle est la masse de $\mathrm{Na}\mathrm{Cl}$ à préparer?

  Calcul de la masse

  Dans une première étape, il faut calculer la masse molaire de $\mathrm{Na}\mathrm{Cl}$. La masse molaire $M_{\mathrm{molaire}}(\mathrm{Na}\mathrm{Cl})$ de $\mathrm{Na}\mathrm{Cl}$ est la somme des masses molaires de chacun des atomes constituant $\mathrm{Na}\mathrm{Cl}$ et vaut $M_{\mathrm{molaire}}(\mathrm{Na}\mathrm{Cl})=-9.223372\times {10}^{16}$ g/mol. C'est une constante du problème.
  Les masses molaires atomiques sont disponibles sur ce tableau.
  

  Utiliser la règle de trois

  la masse d'une mole de $\mathrm{Na}\mathrm{Cl}$ vaut $-9.223372\times {10}^{16}$ g
  la masse de $0.86$ moles de $\mathrm{Na}\mathrm{Cl}$ vaut $m$ g. On cherche $m$
  Puisque la masse molaire est la constante de proportionnalité entre la masse et le nombre de moles d'une espèce, on peut écrire : $M_{\mathrm{molaire}}(\mathrm{Na}\mathrm{Cl})$= ${\displaystyle \frac{m}{0.86}}={\displaystyle \frac{-9.223372e+16}{1}}$ puis on calcule $m=0.86\times -9.223372e+16=-7.9320999e+16$ g.
  
  

  Utiliser la constante de proportionnalité

  la masse de $0.86$ moles de $\mathrm{Na}\mathrm{Cl}$ vaut $m$ g.
  Par définition de la masse molaire, on peut écrire $M_{\mathrm{molaire}}(\mathrm{Na}\mathrm{Cl})$= ${\displaystyle \frac{m}{n}}$ g/mol
  soit $m=M_{\mathrm{molaire}}(\mathrm{Na}\mathrm{Cl})$ $\times n=-9.223372e+16\times 0.86=-7.9320999e+16$ g.
  
  
  

  La réponse

  Une expérience de chimie nécessite l'utilisation de 0.86 mol de $\mathrm{Na}\mathrm{Cl}$. Quelle est la masse de $\mathrm{Na}\mathrm{Cl}$ à préparer?

  Il faut préparer -7.9320999e+16 g de $\mathrm{Na}\mathrm{Cl}$.