Résolution d'équations

I Égalité
II Équation
III Problème

Sur la résolution des équations de base

I Égalité

II Équation

III Problème

I Égalité

I Égalité
II Équation
III Problème

Définition [Égalité]

Une égalité est une phrase mathématique dans laquelle il y a un signe égal. Cette égalité peut être vraie ou fausse.

Exemple

Soit $t$ la taille du professeur. L'égalité $t = 184$ cm est vraie !
Soit $m$ la masse du professeur. L'égalité $m = 24$ kg est (heureusement) fausse.

Une égalité peut être écrite avec un nombre inconnu, le plus souvent désigné par une lettre, par exemple

2 x + 240 = 18 x

. Tester l'égalité, c'est regarder si l'égalité est vraie pour une valeur particulière donnée à

x

Exemple [ ]

Gardons l'équation ci-dessus :

2 x + 240 = 18 x

. L'égalité est-elle vraie si

x = 4

? si

x = 15

Quand $x = 4$ , on donne 4 comme valeur particulière de $x$ dans l'égalité précédente. On calcule séparément la valeur des membres de gauche et de droite de l'égalité avec cette valeur particulière.
$2 x + 240 = 2 \times 4 + 240$ , soit 248 et pour l'autre membre, $18 x = 18 \times 4$ soit 72. Les nombres 248 et 72 ne sont pas égaux donc l'égalité est fausse pour $x = 4$ . On dit aussi que 4 n'est pas solution de l'équation.
Faisons le même travail pour $x = 15$ .
Pour le membre de gauche : $2 x + 240 = 2 \times 15 + 240$ soit 270. Et pour l'autre membre, $18 x = 18 \times 15$ soit 270. Quand $x = 15$ , les deux membres sont égaux ; on dit que 15 est solution de l'équation. Mais qu'est-ce qu'une équation ?

Résolution d'équations → I Égalité

Définition [Équation]

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une lettre.

Définition [Résoudre une équation]

Résoudre une équation, c'est déterminer la valeur (ou les valeurs) que doit prendre cette inconnue pour que l'égalité soit vérifiée.

Exercice

[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 0$ soit vraie ?
[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 1$ soit vraie ?

Solution

On peut donner n'importe quelle valeur, il y a une infinité de solution. Plus tard dans la scolarité, on verra d'autres équations qui ont 2, 3 ... solutions.
Il n'y a pas de solution !

On une équation comme le montre les exemples suivants, en retenant les règles générales ci-après :

Proposition

On ne change pas les solutions d'une équation quand :

On additionne un même nombre à ses deux membres ;
On soustrait un même nombre à ses deux membres ;
On multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;
On divise par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;

II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

Résolution d'équations → II Équation

II-1 Premier exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

x - 4 = 6

, on procède ainsi :

\begin{matrix} x - 4 & = & 6 \\ x - 4 + 4 & = & 6 + 4 \\ x & = & 10 \end{matrix}

La solution de l'équation est

x = 10

Résolution d'équations → II Équation → II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

a + 11 = 14

, on procède ainsi :

\begin{matrix} a + 11 & = & 14 \\ a + 11 - 11 & = & 14 - 11 \\ a & = & 3 \end{matrix}

La solution de l'équation est

a = 3

Résolution d'équations → II Équation → II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

3 e = 60

, on procède ainsi :

\begin{matrix} 3 e & = & 60 \\ \frac{3 e}{3} & = & \frac{60}{3} \\ e & = & 20 \end{matrix}

La solution de l'équation est

e = 20

Résolution d'équations → II Équation → II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

\frac{b}{7} = 11

, on procède ainsi :

\begin{matrix} \frac{b}{7} & = & 11 \\ \frac{b}{7} \times 7 & = & 11 \times 7 \\ b & = & 77 \end{matrix}

La solution de l'équation est

b = 77

Résolution d'équations → II Équation → II-4 Quatrième exemple

III Problème

I Égalité
II Équation
III Problème

Il y a trois étapes à respecter pour la rédaction des résolutions des problèmes :

Si elle n'est pas imposée par l'énoncé, le choix de l'inconnue. Généralement, soit $x$ ce que l'on cherche .
Mise en équation du problème et sa résolution.
Conclusion par une phrase au problème posé.

Exercice

Le père d'Augustin a sept fois l'âge de son fils et si l'on ajoute 24 à la somme de leur âge, on trouve un 80.

Solution

Choix de l'inconnue Soit $x$ l'âge d'Augustin.
- Mise en équation Le père d'Augustin a sept fois son âge, donc son âge est de : $7 x$ ;
  La somme de leur âge est donc de $7 x + x = 8 x$ .
  Si on ajoute 24 à la somme de leur âge, on trouve 80, d'où l'équation $8 x + 24 = 80$
- Résolution
  $\begin{matrix} 8 x + 24 & = & 80 \\ 8 x & = & 80 - 24 \\ 8 x & = & 56 \\ x & = & \frac{56}{8} \\ x & = & 7 \end{matrix}$
Augustin a donc 7 ans. (Bonus : son père a 49 ans !)

Résolution d'équations → III Problème

document sur la signification d'une équation et sur sa résolution (niveau élémentaire).
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